Римляне, как известно, использовали для записи числа латинские буквы.

Считается, что римская система счисления является классическим примером непозиционной системы счисления, то есть такой системы счисления, в которой величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе.

Напомним, что в римской системе счисления I обозначает 1, V обозначает 5, X — 10, L — 50, C — 100, D — 500, M — 1000.
Например, число 3 в римской системе счисления будет обозначаться как III.

Однако на самом деле не все так просто, и она не является полностью непозиционной системой счисления, потому что в римской системе счисления есть дополнительное правило, которое влияет на величину, которую обозначает цифра, в зависимости от ее положения.

Правило это запрещает употреблении одной и той же цифры более 3 раз подряд, поэтому три это III, а четыре это уже IV, и I(1), стоящая перед большей цифрой V(5), обозначает вычитание, то есть фактически равна -1.

Ниже два калькулятора — для перевода числа из диапазона 1 – 3999 в римское число и наоборот.
Для чисел больше 3999 используется несколько другая нотация.

Преобразование числа, записанного римскими цифрами в десятичное число

Число, записанное римскими цифрами Рассчитать Десятичное число save Сохранить extension Виджет

Преобразование десятичного числа в число, записанное римскими цифрами

Десятичное число Рассчитать Число, записанное римскими цифрами save Сохранить extension Виджет

Индийскую систему записи создал и широко популязировал знаменитый арабский ученый Ал-Хорезми. Он был автором трактата «Китаб аль-джебр ва-аль-мукабала». Именно от названия этого трактата и произошло слово «алгебра», ставшее не просто термином, но наукой, без которой невозможно представить нашу жизнь. Правила выполнения арифметических действий над целыми числами и простыми дробями в десятичной системе счисления впервые были сформулированы выдающимся средневековым ученым по имени Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми (в переводе с арабского это означает «Мухаммед, сын Мусы из Хорезма, сокращенно Ал-Хорезми. Ал-Хорезми жил и творил в IX веке. Арабский оригинал его арифметического труда утерян, но имеется латинский перевод XII века, по которому Западная Европа познакомилась с десятичной позиционной системой счисления и правилами выполнения в ней арифметических действий. Ал Хорезми стремился к тому, чтобы сформулированные им правила были понятны для всех грамотных людей. Достичь этого в веке, когда еще не была разработана математическая символика (знаки операций, скобки, буквенные обозначения и т. п.), было очень трудно. Но Ал-Хорезми удалось выработать в своих трудах такой стиль четкого, строгого словесного предписания, который не давал читателю никакой возможности уклониться от предписанного или пропустить какие-нибудь действия. В латинском переводе книги Ал-Хорезми правила начинались словами «Алгоризми сказал». С течением времени люди забыли, что «Алгоризми» это автор правил, и стали сами эти правила называть алгоритмами. Постепенно «Алгоризми сказал» преобразовалось в «алгоритм гласит». Таким образом, слово «алгоритм» происходит от имени ученого Ал-Хорезми. Как научный термин первоначально оно обозначало лишь правила выполнения действий в десятичной системе счисления. С течением времени это слово приобрело более широкий смысл и стало обозначать любые правила действий. В настоящее время слово «алгоритм» является одним из важнейших понятий науки информатики.

Речь пойдет об узкой части греческой математики, об обозначении чисел.

Буквенная нумерация

Греки обозначали цифры буквами алфавита. Буквенная нумерация — не греческий эксклюзив: греки позаимствовали её примерно в III в. до н.э. у финикиян (Юшкевич, хотя Томас Хит относит первое упоминание примерно к 450 г. до н.э.), а потом её повсеместно использовали и славяне, и евреи, и сирийцы, и арабы (т.н. арабские цифры — гораздо более позднее изобретение), и грузины, и армяне. У греков это обозначение называется ионийским, а до него использовалось аттическое / беотийское (по областям балканской Греции, где существовали мелкие отличия) или геродианово (по имени грамматика Геродиана, который описал её во II в. н.э.). Я не буду касаться геродиановых обозначений, потому что до античности они не дожили, а нам интересно, что там у Птолемея.

Целые

Греки использовали следующие буквенные обозначения:

Буквенные обозначения чисел

ноль единицы десятки сотни
буква число буква число буква число
○ (НЕ ноль, а кружок) 0
α 1 ι 10 ρ 100
β 2 κ 20 σ 200
γ 3 λ 30 τ 300
δ 4 μ 40 υ 400
ε 5 ν 50 φ 500
ς (стигма) или
ϝ (дигамма)
6 ξ 60 χ 600
ζ 7 ο 70 ψ 700
η 8 π 80 ω 800
θ 9 ϙ (коппа) 90 ϡ (сампи) 900

Немножко прокомментирую приведенный список цифробукв.

○ — это не ноль, а кружок. 0 как число появилось все-таки в Индии. Но 0 как цифра, как знак, указывающий на отсутствие целой части числа появился у греков в виде ○. Возможно, это наследие счета на греческом абаке, счетах с камешками, где в качестве пустого разряда использовался круглый камешек с дыркой, называвшийся ψηφος (что и означает «камешек»).

Классический алфавит античных греков включал 24 буквы, и поскольку их не хватало на полноценное обозначение чисел до 1000 (а нужно 9 x 3 = 27), греческие математики добавили три архаичные буквы, вышедшие из употребления еще в IV в. до н.э., до формирования нумерации: дигамму, коппу и сампи.

Дигамма («двойная гамма», она же, в раннем варианте, вау / вав от исходной финикийской буквы) ϝ звучала как звонкое w. Стигма ς — это поздний византийский курсивный вариант дигаммы. Зачем он был нужен в поздневизантийкий период (после 1000 годов), если исходная дигамма к тому времени уже полтора тысячелетия не существовала, я не понимаю. Стигма очень похожа на концевую сигму σ -> ς (сигма в конце слова в современном греческом), но формально это разные буквы. Формально же, стигма — это лигатура σ + τ. Ну и наконец, я не знаю этимологической связи между «стигмой» и «стигматами».

Коппа ϙ — это глухой «к», от которого растет латинское q. Позднее начертание коппы, применяемое и в юникоде, похоже на молнию — Ϟ (в некоторых кодировках отображается «обычной» коппой), но для чисел оно не используется.

И последняя дополнительная буква греческой арифметики, сампи ϡ. Звучала, вероятно, как , вытеснена сигмой.

Вернемся однако ж к математике.

На 999 алфавит исчерпывался, и чтобы считать тысячи, использовались те же знаки, что и для первого десятка от α до θ, но перед ними слева внизу ставился штрих, примерно так: \α = 1000. Больше 9000 у греков запала, однако, не хватило (и полноценного позиционного обозначения они, увы, не открыли), и 10.000 обозначается не \ι, а специальным символом M. Дальнейшие подробности больших чисел я опускаю, потому что они на практике встречались редко.

Чтобы отличить на письме числа от текста, над ними или ставилась черта: 123 = ρκγ, или они закрывались верхней засечкой: 456 = υνς/.

Таким образом греки обозначали целые числа.

Дроби

Долгое время греки не считали дроби числами, а воспринимали их как действия над целыми, как операции с частями целого числа. Четвертая (часть) -> 4-ая -> δων, третья (часть) -> 3-я -> γος: греки поступали в математических текстах точно так, как поступаем сейчас мы на письме, прибавляя к числу-основанию грамматический суффикс в надстрочном регистре. Для сокращения суффикс постепенно заменился штрихом или двойным штрихом: 1/4 = δ’ или 1/3 = γ». Были и другие варианты надстрочных символов.

Две трети могли написать так: β γος или так: β γ’. Но такое обозначение несло двузначность понимания, ведь это же выражение — β γ’ — можно было прочитать и как 2 1/3! Понять значение можно было только из контекста, вникая в математический смысл текста.

По этой или по иной причине, примерно во втором веке до нашей эры пришли к греки знакомой нам записи дроби в виде числителя и знаменателя друг над другом. Правда, они располагали их обратным образом, знаменатель наверху, числитель внизу:

1 3/4 = α δγ.

Позже в обиход начало входить знакомое нам обозначение, называвшееся «индийским», числитель наверху, знаменатель внизу. Отсюда пошли наши обыкновенные дроби:

1 3/4 = α γδ.

Это было вполне удобное обозначение натуральных дробей. Но греки использовали и другие способы.

Аликвотные дроби

Александр Македонский завоевал Египет в 30-х годах IV в. до н.э. и основал в 332 году Александрию, ставшую новым центром эллинистической культуры. К этому времени египетская математика безнадежно отстала от греческой, но тесное взаимодействие традиций оказывало влияние. В частности, греки начали применять египетские дроби.

В арифметических расчетах египетские дроби крайне неудобны, хотя, конечно, математики придумали способы и приемы облегчить себе жизнь (Ван дер Варден даже считает, что это стало одним из ограничителей развития египетской математики; мне, однако, представляется, что если бы необходимость в том была, были бы проведены соответствующие нормативные реформы), но в качестве константных значений египетские дроби можно было использовать. Так, в звездном каталоге «Альмагеста» (137 г.) Птолемей применял египетские аликвотные дроби и ничего не боялся; по всей видимости, египетские дроби были и в каталоге Гиппарха(139 г. до н.э.).

Греки взяли идею аликвотных дробей у египтян, но использовали, конечно, свои родные буквенные обозначения. Основная дробь обозначалась штрихом:

1/2 -> β’ 1/3 -> γ’ 1/4 -> δ’

и т.д.

Сумма аликвотных дробей, формировавшая произвольную дробь, выглядела так:

3/4 = 1/2 + 1/4 -> β’ δ’ (или так: β’ δx) 8/15 = 1/3 + 1/5 -> γ’ ε’ 2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301 -> μβ’ πς’ ρκθ’

Наконец, целая с дробью представлялась греками следующим образом:

1 3/4 = 1 + 1/2 + 1/4 -> α β’ δ’.

Для двух часто употребимых дробей у греков были специальные обозначения:

1/2 -> , L’ (происхождение неясно) или Ϲ’ / Ͻ’ (это просто половинки беотийского обозначения единицы ○, в свою очередь, образовавшегося от слова «обол» ; в Беотии кружок = единица!)
3/4 -> Именно этот крючочек заинтересовал меня при изучении «Альмагеста» и побудил изучить вопрос греческих обозначений чисел подробнее, но происхождение его так и осталось не ясно. Это похоже на лигатуру Γβ, восходящую к обыкновенным дробям в «индийском» написании, но я не нашел этому подтверждения.

Египтяне иногда употребляли специальный иероглиф для 3/4, но подобное греческое употребление мне не встречалось.

Шестидесятеричные дроби

Птолемей подтверждал, что использовать в расчетах греческие дроби неудобно. Для расчетов они и не использовались, у греков было мощное продвинутое средство: шестидесятеричные дроби.

Шестидесятеричная система счисления была придумана шумерами еще в III тысячелетии до нашей эры и унаследована вавилонянами. Не буду отвлекаться на её ближневосточную историю, а перейду сразу к грекам: греки, я полагаю, познакомились с этой системой примерно в VII веке до н.э., с налаживаем культурных контактов со Междуречьем. Однако, применяли они её только в приложении к дробям.

Вавилонская система эквивалентна нашей десятеричной системе, только в её основании лежит на десять, а шестьдесят. Шестидесятеричные дроби вполне ясны, это дроби с основанием 60:

1/60, 1/602 = 1/3600, 1/603 = 1/216000

и т.д.

Понятно и их использование, вот корень из трех (это конкретный пример из Птолемея):

√3 = 1 + 43/60 + 55/602 + 23/603 -> α μγ’ ηε» κγ‴ .

Обратите внимание на два факта.

Во-первых, оперировать с шестидесятеричными дробями было исключительно просто, не сложнее, чем с десятичными. Птолемей, по словам Ван вар Вардена, обходится с ними виртуозно, нигде, правда, не описывая конкретную технику. Однако античные комментаторы подробно объясняют эти приемы.

Во-вторых, большое основание вавилонских дробей позволяет компактно записывать дробные числа, так, приведенное значение корня из трех, включающее три дроби, верно до седьмого знака после запятой в современной десятичной записи.

Кстати, о запятых.

Историки математики воспроизводят вавилонские дроби, удобства ради отделяя целую часть точкой с запятой и шестидесятеричные дроби запятыми, вот так:

√3 = 1 + 43/60 + 55/602 + 23/603 = 1; 43, 55, 23.

Ну и наконец, заметьте: вавилонские дроби в греческой записи точно эквивалентны современному обозначению углов, географических координат и времени! Вот, например, координаты Москвы (широта и долгота) в современном и древнегреческом обозначении:

55° 45′ 21″ -> νε με’ κα», 37° 37′ 04″ -> λζ λζ’ δ».

Резюме
  1. Для обозначения целых чисел греки использовали десятичные непозиционные буквенные обозначения.
  2. Для обозначения дробей греки использовали три способа:
    • обыкновенные дроби, помещая числитель под знаменателем,
    • египетские аликвотные дроби, отмечая их штрихом, обычно для константных величин,
    • вавилонские шестидесятеричные дроби, отмечая их штрихами соответственно разряду, для вычислений.

[ad01]

Рубрики: Разное

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *