22. Земельный Кодекс Российской Федерации. ФЗ N 136- 25 октября 2001 года.

23. Tsvetkov V.Ya. Multipurpose Management// European Journal of Economic Studies. 2012. Vol. (2). № 2. Р. 140-143.

25. Омельченко А.С. Геоданные как инновационный ресурс // Качество, инновации, образование. 2006. № 1. С. 12-14.

26. Бахарева Н.А. Геоданные в земельном кадастре // Образовательные ресурсы и технологии. 2016. № 3 (15). С. 69-79.

32. Павлов А.И. Цифровое моделирование пространственных объектов // Славянский форум, 2015. — 4(10) — с.275-282.

33. Tsvetkov V.Ya. Dichotomous Systemic Analysis. // Life Science Journal. — 2014. -11(6).-рр.586-590.

34. Ozhereleva T. А. Systematics for information units // European Researcher, 2014, Vol.(86), № 11/1, pp. 1894-1900.

35. Об утверждении правил «Кадастрового деления территории Российской Федерации и правил присвоения кадастровых номеров земельным участкам». Постановление Правительства РФ от 6 сентября 2000 г. N 660.

37. О подготовке документов для целей обеспечения ведения государственного кадастра недвижимости. Письмо от 4 марта 2008 г. N ВК/0877 Федеральное Агентство Кадастра Объектов недвижимости.

Сведения об авторе

Наталья Александровна Бахарева

Старший преподаватель, Заместитель декана

Факультета экономики и управления территориями.

Московский государственный университет геодезии и

картографии.

Москва, Россия

Эл. почта: nbarkh@bk.ru

About the author

Natalia Alexandrovna Bakhareva

Deputy Dean of the Faculty of Economics and Management areas

Moscow State University of Geodesy and Cartography Moscow, Russia Е-mail: nbarkh@bk.ru

УДК 165 Т.А. Ожерельева

Московская финансово юридическая академия

ЛОГИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ И МЕТОДЫ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ПРИ ИЗВЛЕЧЕНИИ ЗНАНИЙ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Статья описывает логические приемы и методы, применяемые при извлечении знаний. Все базовые термины логического вывода определены через логическое следование. Онтология определяется как логическое следование. Показано различие между индукцией, абдукцией и трансдукцией. Дана логическая интерпретация гипотезы и следствия. На примере логического квадрата дается анализ различных видов суждений. Описаны четыре основные фигуры силлогизмов. Отмечена условность логических выводов. Это обусловлено применением двоичной логики.

Ключевые слова: логика, знание, абдукция, индукция, силлогизм, высказывание.

ТА. Ozhereleva

Moscow Financial Law Academy

LOGICAL TECHNIQUES AND METHODS USED IN THE EXTRACTION OF KNOWLEDGE

Keywords: logic, knowledge, abduction, induction, syllogism, statements.

Введение

Традиционная область логики, связанная с получением или извлечением знаний использует формы корректных рассуждений. Эпистемическая логика (от греч. етат^цп— знание) или логика знаний — подвид модальной логики, имеющий дело с высказываниями о состоянии познания . Оперирует понятиями «знает», «полагает». Эпистемическая логика (ЭЛ) как особый раздел логики занимается изучением рассуждений о знаниях на основании других знаний . Получение знаний логическими методами часто вступает в конфликт с применением тавтологий. Напомним, что тавтологии (в логике) — это пропозициональные формулы, истинные при всех значениях переменных . Все тавтологии можно получить из некоторого набора «аксиом» с помощью «правил вывода», которые имеют чисто синтаксический характер и никак не апеллируют к смыслу формулы, её истинности и т. д. Эту задачу решает так называемое исчисление высказываний . Существует теорема о полноте, которая утверждает, что всякая тавтология выводима в исчислении высказываний. Другими словами, тавтологии дают только одно знание — истинно или нет исходное выражение с позиций формальной двоичной логики. В лингвистке тавтологией называют выражение, не несущее новой информации по сравнению с другим выражением. Соответственно, отсутствие новой информации определяет отсутствие нового знания. Тем не менее, логические методы используют для получения новых знаний. Особенно широко применяю логику в конструировании алгоритмов и в составлении сложных аналитических схем . Алгоритм с этих позиций можно рассматривать как информационную конструкцию , построенную на основе логических отношений. Это определяет важное свойство алгоритма -верифицируемость . Можно сказать, что проверка на истинность любой схемы означает ее верифицируемость.

Базовые термины

В соответствии с логическим законом достаточного основания определим базовые термины, применяемые в дальнейшем.

Верификация — процедура проверки правильности гипотез, прогнозов и логических схем . Может осуществляться автоматически или с помощью эвристических методов, вызываемых явной директивой пользователя или запускаемых при возникновении специфических ситуаций

Дедукция — метод логического следования от общего к частному, при этом новое положение выводится чисто логическим путем на основе формальной логики, априорной информации (посылок) Любая научная дедукция является результатом предварительного индуктивного изучения отдельных частностей с последующим переходом к общему. Посылками дедукции являются аксиомы, постулаты или просто гипотезы, имеющие характер общих утверждений («общее»), а концом — следствия из посылок, теоремы («частное»). Если посылки дедукции истинны, то истинны и ее следствия. Дедукция — основное средство доказательства. Наиболее ярко дедукция используется при построении следствий.

Индукция (лат. inductio — наведение) — метод логического следования от частного к общему. Новое положение выводится эмпирическим и логическим путем на основе апостериорной информации , на основе анализа информационных ситуаций, на основе интуиции, и на основе предположений. Индукцию используют при поиске закономерностей в информационном поле.

Абдукция — вид редуктивного вывода или логического следования (от заключения к посылке), при котором из посылки, которая является условным высказыванием, и заключения вытекает вторая посылка. Например, первая посылка: люди — смертны; заключение: император Японии — смертен

Мы можем предположить, с помощью абдукции, что вторая посылка: император Японии — человек.

Таким образом, абдукция это метод построения гипотез.

Редукция (лат. reductю — сведение, возведение, приведение обратно) — метод логического следования (от сложного к простому) или логический приём преобразования каких-либо данных к более удобному виду. Сведение сложного объекта к более простому для анализа или решения.

Трансдукция (лат. traductio — перемещение) — метод логического следования от общего к общему, при котором на основе сходства некоторых свойств объектов делается вывод и о сходстве остальных.

Онтология — метод логического следования от общего к общему и к частному, при котором модель онтологии строится как сеть, состоящая из концептов и связей между ними . Концепты и связи имеют универсальный характер для некоторого класса понятий предметной области, что позволяет выбирать некоторое понятие из этого класса и для него формулировать вполне конкретную однозначно воспринимаемую онтологию, задавая конкретные значения атрибутам.

Суждение и умозаключение как основа получения знаний

Суждение, согласно И. Канту, — это подведение объекта под понятие. Способность суждения предполагает раздельность объекта и свойств, понимания предмета и его имени. Процесс получения новых знаний, выраженных высказываниями, из других знаний, также выраженных высказываниями, называется рассуждением. Простейшее рассуждение называется умозаключением. Умозаключения по направлению логического следования разделяют:

Дедуктивные (от общего к частному).

Индуктивные (от частного к общему).

Трансдуктивные (от одной степени общности к такой же степени общности).

Одним из основных приемов рассуждений является индукция. Применение индукции встречаются уже в работах Аристотеля , но особенно большое внимание начинает уделяться ей с появлением эмпирическое естествознания в 17-18 вв. Большой вклад в разработку вопросов индукции вносят Ф. Бэкок, Галилей, Ньютон, Дж. Гершель и Дж. С. Милль. Как форма умозаключения индукция обеспечивает возможность перехода от единичных фактов к общим положениям. Обычно выделяют три основных вида индуктивных умозаключений: полную индукцию; через простое перечисление (популярную индукцию); научную индукцию. (два последних вида образуют неполную индукцию).

Полная индукция представляет вывод общего положения о классе в целом на основе рассмотрения всех его элементов; она дает достоверный вывод, но сфера ее применения ограничена классами, число членов которых обозримо и воспринимаемо. В случае неполной индукции наличие какого-либо признака у части элементов класса служит основанием дли заключения о том, что и все элементы данного класса обладают этим признаком. Это можно рассматривать как расширение трансдукции. Неполная индукция обладает широкой сферой применения, но ее выводы имеют вероятностный характер и нуждаются в последующем доказательстве.

Научная индукция тоже представляет вывод от части элементов данного класса ко всему классу» но здесь основанием для вывода служит раскрытие у исследуемых элементов класса существенных связей, необходимо обусловливающих принадлежность данного признака всему классу. Основное место в научной индукции занимают приемы раскрытия существенных связей, что предполагает использование системного анализа.

В традиционной логике сформулированы не которые из таких приемов — так называемые индуктивные методы исследования причинной связи: метод единственного сходства, метод единственного различия, метод сходства и различия (метод двойного сходства), метод сопутствующих изменений и метод остатков. В качестве метода исследования индукция понимается как путь опытного изучения явлений, в ходе которого от отдельных фактов совершается переход к общим положениям, отдельные факты как бы наводят на общее положение. В реальном познании индукция всегда выступает в единстве с дедукцией как

неразрывно связанные и обусловливающие друг друга моменты диалектического познания действительности.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Абдукция — способ находить новое знание имеет значение для теории науки, теории аргументации и теории искусственного интеллекта. Метод научной аргументации в дополнение к индукции и дедукции Ранние формулировки понятия абдукции — гипотеза и ретродукция. В истории логики абдукция как способ логического вывода была впервые введена Пирсом, но он возводит своё представление об абдуктивном умозаключении к Аристотелю, который определял метод научного решения при логически неопределённых предпосылках.

В 1878 г. Пирс определяет абдукцию как новый способ логического вывода, противоположный индукции и дедукции. В 1903 г. Пирс описывает абдукцию как процесс, в котором мы «выдвигаем объясняющую гипотезу», и называет её «единственной логической операцией, которая приводит к новой идее». Для выявления различия рассмотрим три примера.

Дедукция доказывает, что дело по необходимости обстоит именно таким образом. Мы исходим из общего правила и наблюдаемого единичного случая и выводим из этого новое знание об этом единичном случае пример дедукции:

Закономерность: Все объекты в этом массиве точечные. Ситуация: Эти объекты — из этого массива. Результат: Эти объекты точечные.

Индукция возникает из обращения дедукции. Из единичного экспериментально наблюдаемого случая или множества таких единичных случаев и верифицированного результата путём обобщения выводят правило. Но, в конечном счёте, знание, полученное индуктивным путём, — это всегда высказывание о вероятности события.

Пример индукции:

Информационная ситуация: Эти объекты — из этого массива.

Результат исследования: Эти объекты точечные.

Эмпирическое правило: Все объекты в этом массиве точечные.

Абдукция, исходя из результата, требующего объяснения, выводит гипотетическое правило, прежде неизвестное и принятое на пробу, чтобы объяснить данный случай

Пример абдукции.

Результат исследования: Эти объекты точечные.

Гипотетическое правило: Все объекты в этом массиве точечные.

Информационная ситуация: Эти объекты — из этого массива.

Благодаря своему чисто гипотетическому характеру абдукция наряду с другими способами вывода может быть использована как научный метод в тех случаях, когда требуется прийти к истинному высказыванию. Абдукция сначала приводит только к предварительному общему правилу. Из этого абдуктивного правила должны быть дедуцированы дальнейшие общие положения, которые затем следует проверить путём индукции. Чем большее число наблюдений позволяет прийти к индуктивному выводу, исходя из абдуктивно постулированного правила, тем больше становится объяснительный потенциал этого правила .

Сочетание дедукции, индукции и абдукции дает возможность реализовать системный подход к изучению и отображению предметных областей. В свою очередь, индукция дает достоверные результаты только тогда, когда изучение частностей основывается на понимании всеобщего.

Ситуационный подход состоит в том, что поддерживаются только те утверждения, в том числе и выводимые, которые будут релевантны данной ситуации. Таким образом, ситуационный подход расширяет стандартную структуру возможных миров, и если в «возможных мирах» определяется истинностное значение всех утверждений, то в ситуационном подходе истинностное значение может быть как определено, так и не определено.

В зависимости от отношений между переменными различают конъюнктивные, дизъюнктивные, импликативные, эквивалентные и отрицательные суждения. Эти суждения образованы соответствующими логическими связками

Пример импликативного суждения. «Для получения работы выпускнику вуза необходимо получить диплом специалиста». Переменные: А — диплом специалиста; В — работа специалиста.

А^-В

Часто импликативные суждения связаны с другими, например, с конъюнктивными. Импликативное суждение: «Для получения работы в вузе преподавателю совместителю

2018. Ш. 6

каждый год надо получать пакет платных справок».

Переменные: А — пакет справок; В — работа в вузе. Пакет платных справок представляет собой конъюнктивное высказывание.

А=—Судл—Наркол л —Псих л ОМ(а1Л а2Л азл … лам)

Суд — судимость; —Суд — справка об отсутствии судимости за всю прожитую жизнь

Наркол — наркологическая зависимость; —I Наркол — справка об отсутствии наркологической зависимости.

Псих — учет в психоневрологическом диспансере; — Псих — отсутствие учета в психоневрологическом диспансере.

ОМ — общемедицинский платный осмотр из 14 конъюнктов — разных профильных врачей, включая анализы.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Гипотезы и следствия

Под гипотезой формулы А понимается такая формула В, что

(В^А)= 1.

Гипотеза формулы А называется простой, если она есть конъюнкция переменных или их отрицаний и после отбрасывания любого из ее сомножителей перестает быть гипотезой формулы А.

В(х1л х2л хЗл х4л —х5л —х6л —х7л х8л х9) В(х1л х2л хЗл х4л —х5л —х7л х8л х9)

Под следствием формулы А понимается такая формула С, что

(А^С)= 1.

Следствие формулы А называется простым, если оно есть дизъюнкция переменных или их отрицаний и после отбрасывания любого из ее слагаемых перестает быть следствием формулы А.

С(уЫ у2v у3v у4v —у5v —у6v —у7v у8v у9) СС(у1v у2v у3v у4v —у5v —у6v —у7v у9)

Существуют правила:

Если В— гипотеза формулы А, то ВлС есть тоже гипотеза формулы А.

(В^Л)= 1 (Вл С ~^А)= 1

Если С— следствие формулы А, то Б v С есть тоже следствие из А.

(А^С)= 1. (А^ Б v С)= 1.

Если А и В— гипотезы формулы С, то А v В— тоже гипотеза для С.

(А 1 & (В^С)= 1.

(AvB 1.

Если А и В— следствия из С, то Ал В— тоже следствие из С.

(0^4)= 1 & (С^В)= 1.

(С^Ал В)= 1

Общее утверждение о выводимости.

Формула А выводима из Г, если существует вывод из Г, в котором она является последней формулой. В этом случае мы пишем Г |- А. Знак |- означает выводимость. Если Г пусто, то речь идёт о выводимости в исчислении высказываний, и вместо 0 ^ А пишут просто

Ь А.

Следующая лемма, называемая «леммой о дедукции», показывает, что этот подход применим для исчисления высказываний.

Г |- А ^ В тогда и только тогда, когда Г и {А} |- В.

Для упрощения знак объединения U заменяем запятой и опускаем фигурные скобки.

Пусть Г h (A ^ B). Тогда и Г, A h (A ^ B).

Согласно определению, Г, A h A, откуда по MP получаем Г, A h B

Силлогизм как основа умозаключения

Получение знаний с помощью человеческого интеллекта основано на логических приемах и различных (в настоящее время логиках). Способность суждения (тем самым и понимания) предполагает раздельность объекта и свойств, а также раздельного понимания предмета и его имени. Эта раздельность допустима в уже построенной логической системе. Предшествует суждению рассуждение. Общим для суждения и умозаключения является силлогизм.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Силлогизм— умозаключение, в котором на основании нескольких суждений с необходимостью выводится новое суждение, называемое заключением. В отличие от силлогизма, как умозаключения посредственного, непосредственным умозаключением называется то, в котором заключение получается из данного суждения без помощи другого.

К непосредственным умозаключениям относят:

a) умозаключения по подчинению. От истинности общего суждения можно всегда заключать к истинности частного того же содержания, но не наоборот; от ложности частного суждения всегда можно заключать к ложности общего того же содержания, но не наоборот. Эти умозаключения делаются на основании dictum de omni et nullo: quicquid de omnibus valet etiam de quibusdam et singulis; quicquid de nullo valet nec de quihusdam nec de singulis valet;

b) умозаключения по тождеству: из истинности известного суждения следует истинность тождественного ему по содержанию;

c) умозаключения по превращению (conversio), основанному на отношении объемов логического подлежащего и логического сказуемого и на возможности их перестановки.

Путем превращения общеутвердительные суждения переходят в общеутвердительные же в том случае, ежели объем подлежащего равен объему сказуемого (conversio pura), напр. А = В, следовательно, и В = А; но громадное большинство общеутвердительных суждений путем превращения переходит в частные утвердительные (conversio impura) на том основании, что объем сказуемого (определяющего) обыкновенно больше объема определяемого — следовательно, при превращении часть объема определяющего понятия теряет свое значение для заключения.

Частные утвердительные и общеотрицательные суждения дают чистые превращения.

Частноотрицательные суждения при превращении заключения не дают. Это одна из наиболее распространенных логических ошибок, к которой прибегают политики и журналисты.

Если при превращении суждений изменить еще и качества их, т. е. утвердительные

обратить в отрицательные, то получатся заключения следующего рода: из общеутвердительных получатся общеотрицательные суждения; от общеотрицательного — обыкновенно

частноутвердительное, в случаях же равенства логического подлежащего и сказуемого — общеутвердительное; из частноотрицательного суждения получаются частноутвердительные; наконец, из частноутвердительного никаких заключений сделать нельзя.

На основании отношения понятий, изображенного в так называемом. логическом квадрате (рис.1), можно делать умозаключения по отношению противоречия и противоположности суждений.

От истинности общеутвердительного суждения можно заключить (по закону противоречия) к ложности частноутвердительного; точно так же от истинности общеотрицательного можно заключить к ложности частноутвердительного.

Правилом при подобного рода заключении служит (Рис.9.1): противоречащие суждения

противныя (contraria или contrarie opposite)

подпротивныя (subcontraria) О Рис.1. Логический квадрат

(так, А — О и Е — I) не могут быть одновременно истинными или ложными.

Переменная А, которую ввел Аристотель означает общеутвердительное суждение. Переменная Е означает общеотрицательное суждение. Переменная I означает частноутвердительное суждение. Переменная О означает частноотрицательное суждение. Эти переменные используются для обозначений модусов силлогизма.

По противоположности могут быть делаемы следующего рода заключения. Два общих (и противных) суждения могут быть одновременно ложными, но не могут быть одновременно истинными. Два частных (и подпротивных) суждения могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.

От непосредственных умозаключений отличают посредственные, или силлогизмы.

Силлогизмы бывают категорические, условные и разделительные в зависимости от того, какой характер имеет суждение, называемое в силлогизме большою посылкой.

Посылками называются те суждения, из которых выводится заключение; сам процесс выведения заключения называется умозаключением.

Пример если А=С и В=С, то А=В или В=А.

Это пример равенства понятий. На практике это редкий случай, так как в большинстве суждений объем сказуемого шире объема логического подлежащего. Поэтому в общем случае силлогизм строится так: два понятия, имеющие отношение к третьему, имеют и между собой некоторое отношение.

Правильное умозаключение должно точно

лл P п М

определить взаимоотношение этих понятий. Отношение понятий между собой устанавливается благодаря общему двум суждениям понятию. Таким образом, самое общее правило умозаключения состоит в том, что только из таких двух суждений может быть выведено заключение, которые имеют одно общее понятие.

Общее понятие в силлогистике называется средним термином (М), посылка, из которой берется сказуемое, называется большим термином (Р), посылка, из которой берется заключение, Рис.2. Четыре фигуры силлогизма называется — меньшим термином (S).

Средний термин в заключении исчезает. Характер правильного заключения определяется сравнением объемов и качества терминов, поэтому формальная логика различает фигуры и виды (modi — модуса) умозаключений. Фигур силлогизмов четыре в зависимости от возможного положения среднего термина в посылках (рис.2)

В первой фигуре средний термин является субъектом в большой посылке и предикатом в меньшей.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Таблица 1

Первая фигура силлогизма.

\ 1ф 2ф

S М S М

М P P М

3ф 4ф

М S М S

М — Р М заключается в Р Первое суждение А

S — M S заключается в M Второе суждение А

S — P S заключается в P Вывод А

Данный пример можно обозначить модусом ААА, который определяется крайним столбцом. Это вытекает из того, что все высказывания общеутвердительны (логический квадрат рис.1) ААА называют первый модус первой фигуры силлогизма.

Смысл этой фигуры заключается в подведении известного понятия под общее правило; условия этой фигуры следующие: большая посылка должна быть общею (утвердительной или отрицательной), меньшая посылка должна быть утвердительною (общей или частной). В первой фигуре могут быть четыре заключения.

Во второй фигуре средний термин является предикатом в обеих посылках. В ней двум различным понятиям приписывается один и тот же признак; ясно, что в случае двух утвердительных посылок не может быть никакого правильного заключения, ибо из того обстоятельства, что два понятия имеют один общий признак, нельзя сделать никаких заключений относительно связи или отсутствия связи между указанными двумя понятиями. Следовательно, заключение по второй фигуре может получиться лишь в том случае, если одна из посылок будет утвердительною, другая — отрицательною; в таком случае заключение будет

отрицательное, т. е. можно сказать что S не есть вид Р. Правила второй фигуры следующие. Большая посылка должна быть общею, одна из посылок должна быть отрицательною. Ниже приведен пример.

Таблица 2

Вторая фигура силлогизма.

Р — М Ни один минерал не растет Первое суждение Е

S — м растения — растут Второе суждение А

S — Р растения не суть минералы Вывод Е

В данном примере имеем модус ЕАЕ. Эта фигура имеет четыре значащих заключения, причем все виды заключений отрицательные.

В третьей фигуре средний термин является субъектом в обеих посылках. Пример модуса АА1:

Таблица 3

Третья фигура силлогизма.

М — Р Все птицы кладут яйца Первое суждение А

М — S Все птицы — позвоночные Второе суждение А

S — Р Некоторые позвоночные кладут яйца Вывод I

В ней одному и тому же понятию приписываются два различных признака; в таком случае всегда возможно заключить, что эти два признака хотя бы изредка встречаются в одном предмете; или если понятию одна посылка приписывает известный признак, а другая отрицает у него другой признак, то можно заключить, что связь между этими признаками не необходимая, т. е. бывают случаи, что один признак является без другого; итак, по этой фигуре всегда возможны частные заключения утвердительного положительного или отрицательного вида в зависимости от того, какого качества посылки. Единственное требование в третьей фигуре, состоит в том, чтобы меньшая посылка была утвердительной. Значащих модусов в 3-й фигуре шесть.

Четвертая фигура представляет собой обращенную первую, средний термин является субъектом в меньшей посылке и предикатом в большой. Вследствие этого в ней более широкое понятие определяется менее широким понятием:

Р — М М — S. S — Р

Заключение получается всегда частное. Значащих модусов пять. Искусственность этого способа умозаключения бросается в глаза, и всякий предпочтет делать заключение по первой фигуре, переставив посылки.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Заключение

Логические приемы и методы, применяемые при извлечении знаний, строятся на суждениях и умозаключениях. При этом отдается предпочтение индуктивным и абдуктивным логическим следованиям, которые получают новое знание. Дедуктивные выводы по существу являются тавталогиями.Соблюдение силлогистических правил не заключает в себе гарантии материальной истинности заключения. Из ложных посылок можно получить случайно истинное заключение, причем, однако, как замечает Аристотель, не видно, почему заключение есть истинное. Нужно различать формальную истинность суждений от материальной. Силлогизм дает лишь гарантию формальной истинности суждения, фактическая истинность посылок зависит от указаний опыта или от аксиоматичности посылок. Ошибки в силлогизмах возможны и зависят от неправильного сочетания посылок или же от погрешности в самых посылках; напр., например, когда средний термин в обеих посылках имеет не одинаковое значение, то происходит ошибка, называемая quaternю terminorum.

Литература

1. Большая Советская Энциклопедия / 3-е издание в 30 томах.- М.: Сов энциклопедия, 1969 — 1978 гг

2. Философский словарь/под ред. И.Т.Фролова. — 5-е издание. — М.:: Политиздат, 1985 —

590 с

3. Кондаков Н.И. Логический словарь — М.: АН СССР, Наука, 1971 — 656с

П^^ 2018. Ш. 6

4. Цветков В.Я. Извлечение знаний для формирования информационных ресурсов. — М.: Госинформобр. 2006. — 158с.

5. Detlovs V., Podnieks K. Introduction to Mathematical Logic University of Latvia. — 2011. (Edition 2014), 2014. — 238р

7. Алябьева В.Г. Математическая логика. Учебное пособие. — Пермью: Пермский государственный национальный исследовательский университет , 2017. — 112с.

9. Ахманова О. С. Словарь лингвистических терминов. — М.: КомКнига, 2007 -576с.

10. Раев В.К., Цветков В.Я. Логические цепочки // Дистанционное и виртуальное обучение. 2018. — № 1(120). — с.14-21.

11. Цветков В.Я. Логика в науке и методы доказательств. — LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, Saarbrücken, Germany 2012 -84с

12. Дешко И.П. Информационное конструирование: Монография. — М.: МАКС Пресс, 2016. — 64с. ISBN 978 -5-317-05244-7

14. Tsvetkov V. Ya. Information Constructions // European Journal of Technology and Design. -2014, Vol (5), № 3. — p.147-152

16. Синицын С. В., Налютин Н. Ю. Верификация программного обеспечения — М.: БИНОМ. 2008. — 368с.

17. Тихонов А.Н., Цветков В.Я. Методы и системы поддержки принятия решений. — М.: МАКС Пресс, 2001 -312с.

19. Цветков В.Я. Решение проблем с использованием системного анализа // Перспективы науки и образования- 2015. — №1. — с.50-55

20. Аристотель. Соч.: В 4-х томах. М., 1975-1983

Сведения об авторе

About the author

Татьяна Алексеевна Ожерельева

Старший преподаватель

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Московская финансово юридическая академия Москва, Россия

Эл.почта: ozerotana@yandex.ru

T^. Ozhereleva

Senior Lecturer

Moscow Financial Law Academy

Moscow, Russia

E-mail: ozerotana@yandex.ru

УДК 167 В.П. Кулагин

РТУ МИРЭА

КАЧЕСТВЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ НА ГЕОДАННЫХ

Статья описывает методы качественного рассуждения на геоданных. Раскрыто содержание геоданных и две основные формы их представления. Показана связь рассуждений на геоданных с качественными рассуждениями. Дана классификация качественных пространственных рассуждений. Статья описывает методы качественных рассуждений на геоданных. Основным методом является математическая логика. Дополнительными методами являются пять аксиом качественных шкал. Перевод аксиом из качественных категорий в логические категории служит основой качественных рассуждений на геоданных. Показана связь качественных рассуждений с системным анализом. Статья раскрывает значение пространственных отношений для качественных рассуждений. Дана классификация основных

2. Прямые и косвенные доказательства

В зависимости от способа обоснования выделяются прямые и косвенные доказательства.

Прямое доказательство. Оно представляет собой рассуждение, в котором доводы непосредственно обосновывают истинность или ложность тезиса. Приведенные выше примеры — о движении Земли вокруг Солнца, вращении Земли вокруг оси, о профсоюзах на акционированных предприятиях — это примеры прямого доказательства.

Косвенное доказательство. Оно отличается тем, что доводы в нем обосновывают истинность какого-либо тезиса опосредованно, через обоснование ложности другого, исключающего его суждения.

Косвенное доказательство имеет разновидности. Оно может быть апагогическим и разделительным.

Апагогическое доказательство (от греч. apagogos — уводящий в сторону), или доказательство от противного, состоит в том, что вначале предпринимается доказательство тезиса, противоречащего исходному; тезис доводится до абсурда или противоречия с теми или иными установленными истинами, и затем из ложности такого тезиса делается вывод об истинности противоречащего ему. Вспомним, например, как мы доказывали, почему в первой фигуре простого категорического силлогизма меньшая посылка должна быть утвердительной. Мы начали от противного — предположили, что меньшая посылка отрицательная. И на этой основе путем ряда умозаключений пришли к выводу, что в этом случае определенного вывода получить нельзя. Следовательно, меньшая посылка не может быть отрицательной. А раз так, то она должна быть утвердительной (ибо каких-то иных посылок по качеству не бывает).

Немало доказательств от противного можно найти в математике, в частности в геометрии.

Опровержение тоже может происходить в форме косвенного доказательства — от противного. Вот как, например, Демокрит опровергал тезис о том, что «Все истинно». Ведь если кто-то полагает, что не все истинно, то и этот тезис будет истинным, и, таким образом, положение, что «Все истинно», оказывается ложным. Демокрит точно так же опровергал и утверждение, что «Все ложно». Ведь если все ложно, то ложно и то, что все ложно.

Разделительное доказательство характеризуется тем, что из нескольких возможных тезисов методом исключения доказывается один. Например, известно, что данное преступление совершили или А, или В, или С (и никто другой). Затем последовательно приводятся доказательства, что этого сделать не могли ни А, ни В. Таким образом доказывается, что преступление совершил С. Здесь важно лишь, чтобы были исчерпаны все возможные варианты, т. е. чтобы дизъюнкция была полной, «закрытой».

Объективные различия между прямыми и косвенными доказательствами тоже относительны: прямое доказательство может быть превращено в косвенное, а косвенное — в прямое.

Во избежание недоразумений подчеркнем, что прямые и косвенные доказательства как виды логической операции отличаются от прямых и косвенных доказательств как оснований в юридической практике. Прямые доказательства в последнем случае — такие, которые непосредственно удостоверяют тот или иной факт. Косвенные же удостоверяют его посредством других доказательств. Они называются также уликами. Например, у данного лица найдена украденная вещь. Это улика против него, дающая возможность предположить, что он же ее и украл. Такие косвенные доказательства приобретают особое значение лишь в сочетании с другими.

Иногда различают еще виды доказательств по роли опытных данных как оснований доказательства. В этой связи указывают на математические доказательства, не требующие непосредственного обращения к опытным данным, и эмпирические доказательства, применяемые в ряде наук, где более или менее широко используются такие данные. В действительности это не самостоятельные виды доказательства, а различные способы его осуществления — дедукция и индукция, о чем уже говорилось выше.

В последние годы предпринимаются более или менее плодотворные попытки разграничивать доказательства-монологи и доказательства-диалоги. В этой связи все большее внимание уделяется спору как разновидности диалога, а в рамках спора — дискуссии, диспуту, полемике. Однако процесс диалога содержит не только логические, но также психологические, лингвистические, нравственные и другие аспекты. Поэтому всю проблему диалога в целом также уместнее излагать не в логике, а в общей теории аргументации.

Изучение видов доказательств имеет не только теоретическое, но и практическое значение. Оно позволяет сознательно, а следовательно, более эффективно использовать тот или иной вид доказательств в отдельности или их сочетание.

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

Дискуссионная трибуна

С.А. Шейфер

ПОНЯТИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА: дискуссия не завершена

Стремление дать научное определение понятию доказательств и их видам издавна привлекало внимание исследователей. В развитии представлений о доказательствах отчетливо просматривается историческая преемственность научных представлений. Поначалу суждения исследователей об этом складывались под влиянием теории формальных доказательств, действовавшей в России до момента принятия Судебных Уставов. Взгляды ученых того времени, кроме того, испытали на себе влияние немецкой доктрины уголовно-процессуального доказывания, основанной на чувственном эмпиризме1. Так, Я.И. Бар-шев считал, что средства или источники доказательств заключаются либо в собственном непосредственном убеждении в предмете (личный осмотр, осмотр посредством сведущих лиц), либо в убеждении посредственном (собственное признание, показания свидетелей, письменные доказательства)2. Подобно этому В.Д. Спасович исходил из того, что способами познания являются чувственный опыт (личный осмотр судьей сле-

1 На это обстоятельство обратил внимание еще В.Д. Спасович, заметив, что основа теории формальных доказательств — Воинский Устав Петра 1, содержавший «краткое изображение процессов и судебных тяжб», был издан на немецком языке, вследствие чего текст кодекса поначалу был слабо доступен судьям (см.: Спасович В.Д. Избр. труды и речи. Тула, 2000. С. 30).

2 Баршев Я.И. Основания уголовного судопроизводства с применением к Российскому уголовному судопроизводству. М., 2001. С. 52, 53.

дов преступления и суждения экспертов) и предание или восприятие чужих убеждений (собственное признание обвиняемого, показания свидетелей и письменные документы). Автор добавлял к ним и улики3. И даже после принятия Устава уголовного судопроизводства И.Я. Фойницкий, хотя и считал ошибочной господствующую классификацию доказательств в виде их деления: 1) на доказательства, которые познаются судом непосредственно (осмотр, освидетельствование, экспертиза); 2) доказательства, основанные на доверии (свидетельские и другие показания); 3) улики, поскольку при этом разграничивались не виды доказательств, а способы их получения, противопоставил ей деление доказательств на: 1) личные заявления всякого рода (показания подсудимого, свидетелей, мнение сведущих людей, дознание через окольных людей); 2) даваемые предметами внешнего мира (доказательства вещественные); 3) переходная ступень — доказательства письменные4. И здесь все же просматривается определенное сходство с воззрениями предшественников, сложившимися в период действия теории формальных доказательств, и фактически отождествляющих виды доказательств со способами их получения.

3 Спасович В.Д. Указ. соч. С. 21.

4 Фойницкий И.Я. Курс уголовного судопроизводства. Т. 2. СПб., 1966. С. 194.

Небезынтересно отметить, что и в действующем УПК ФРГ главы, посвященные доказательствам, исходят из такой же их трактовки. Так, гл. 6 именуется «Свидетели» (§ 48-71), гл. 7 — «Эксперт и осмотр» (§ 7293), гл. 8 — «Выемка, контроль телефонных переговоров и обыск» (§ 94-111), гл. 10 -«Допрос обвиняемого» (§133-136а). Иных определений доказательств УПК ФРГ не содержит. По-видимому, такая регламентация — отражение присущих инквизиционному процессу воззрений, на основе которых в 1877 г. был принят этот нормативный акт1.

Появление термина «источник доказательств» объясняется, как нам представляется, как раз отождествлением понятия доказательств со способами их получения. Б.А. Филимонов по этому поводу приводит суждение А. Миттермайера, согласно которому доказательством должен рассматриваться любой предусмотренный законом источник (Quelle), который может быть достаточным, чтобы судья сформулировал убеждение и признал релевантные факты истинными 2.

Итак, «источники доказательств» -это средства чувственного познания. В таком истолковании термина есть определенный смысл: осмотр, допрос, обыск действительно являются источниками (а точнее -способами) получения доказательств. Но здесь речь идет лишь о конкретных формах получения нужных сведений. Что же касается общего определения доказательств, то в период до принятия Судебных Уставов исследователи ограничивались лишь логическим аспектом этого понятия. Так, Я.И. Бар-шев разграничивал доказательства и улики, называя доказательствами «те причины, на которых основывается убеждение в действительности какого-либо происшествия или которым предмет исследования делается известным»3. Так же и В.Д. Спасович акцентирует логический аспект: «Доказательствами уголовными называются основания убе-

2 Филимонов Б.А. Указ. соч. С. 15.

3 Баршев Я.И. Указ. соч. С. 52.

ждения судьи в виновности или невиновности подсудимого»4. Такая трактовка сохранилась в научных исследованиях и после принятия Устава уголовного судопроизводства. И.Я. Фойницкий, разделяя позицию Ю. Глазера, например, считал, что понятие доказательств означает «совокупность оснований убеждения в действительности или недействительности обстоятельства, подлежащего судебному удостоверению по данному делу»5.

Сознавая недостаточность одного лишь логического подхода к определению доказательства, другие исследователи стремились раскрыть содержание этого понятия. Появилась трактовка доказательства как факта, служащего основанием для вывода суда. Л.Е. Владимиров, посвятивший теории доказательств фундаментальное исследование, утверждал, что «уголовным доказательством называется всякий факт, имеющий назначением вызвать в суде убеждение в существовании или несуществовании какого-либо обстоятельства, составляющего предмет судебного исследова-ния»6. Так же определял доказательство С.И. Викторский7.

Этим акцентировался как логический, так и содержательный аспекты понятия: доказательства понимались как установленные судом промежуточные факты, используемые им для основания построения конечных выводов. При этом не проводилось различия между фактом как реальностью, как фрагментом действительности и фактом как достоверным знанием об этом фрагменте, то есть продуктом познавательной деятельности. По-видимому, хотя и неосознанно, исследователи имели в виду второй аспект понятия факта — достоверное знание, ибо реальный факт действительности, как давно уже сказано, перенести в материалы уголовного дела невозможно.

Что же касается показаний обвиняемых, свидетелей и т.д., — они также считались доказательствами, однако исследователи не задумывались над тем, как эти яв-

4 Спасович В.Д. Указ. соч. С. 17.

5 Фойницкий И.Я. Указ. соч. С. 194.

6 Учение об уголовных доказательствах. СПб., 1916. С. 100.

7 Русский уголовный процесс. М., 1997. С. 68.

ления соотносятся с доказательствами-фактами.

Опираясь на эти представления, УПК РСФСР 1923 г. признал доказательствами только показания свидетелей, заключения экспертов, вещественные доказательства, протоколы осмотров и иные письменные документы, личные объяснения обвиняемого, не раскрывая содержания этих доказательств и не объясняя их связи с логическими основаниями для построения выводов, то есть с доказательствами-фактами. Продолжая традиции дореволюционной процессуальной науки, А.Я. Вышинский утверждал, что доказательства — это факты действительности, подчеркивая, что речь идет о реальных обстоятельствах («доказательства -это обычные факты, те же совершающиеся в жизни явления, те же вещи, те же люди, те же действия людей»), а отнюдь не о знании об этих обстоятельствах1.

Однако признание доказательствами только фактов объективной действительности, равно как и достоверных сведений о них и наряду с этим показаний, заключений и т.д., оставляло без рассмотрения вопрос, откуда берутся факты, признаваемые доказательствами. Ответом на него стала разработанная М.С. Строговичем двойственная трактовка понятия доказательства: показания обвиняемого, свидетеля, заключения эксперта, документы, которые ученый именовал источниками доказательств, признавались им доказательствами, поскольку содержали сведения о фактах, с помощью которых устанавливались обстоятельства, подлежащие доказыванию, и которые тоже являлись доказательствами. При такой конструкции доказательства-источники служили средством установления доказательств-фактов, а последние — средством установления обстоятельств, подлежащих доказыванию.

Принятые в декабре 1958 г. Основы уголовного судопроизводства Союза ССР и союзных республик (ст. 16), а вслед за ними, два года спустя, и УПК РСФСР (ст. 69) в сущности закрепили трактовку, признавая доказательствами фактические данные об

1 Вышинский А.Я. Теория судебных доказательств в судебном праве. М., 1950. С. 223.

обстоятельствах, подлежащих доказыванию, устанавливаемые показаниями подозреваемого, обвиняемого, свидетеля и т.д. Тем не менее некоторые исследователи (М.А. Чельцов, С.А. Голунский) усмотрели в новом законоположении подтверждение мысли о том, что доказательства — это только факты действительности, а то, что именуется источниками доказательств, доказательствами не являются. Уже тогда подобная трактовка была подвергнута критике за ее внутреннюю противоречивость: отождествление доказательства с предметом доказывания, смешение реальных обстоятельств действительности с достоверным знанием о них, игнорирование доказательственного значения показаний обвиняемого, свидетеля и т.д.

Ошибочность этих взглядов стала особенно наглядной при анализе доказывания с позиций теории отражения и информационного подхода, разработанных в трудах В.Я. Дорохова, Р.С. Белкина, и ставших в последние годы методологической основой определения понятия доказательств в работах других исследователей. В свете теории отражения образование доказательства представляет собой сложный отражательно-информационный процесс. Исследуемое событие, отражаясь в окружающей обстановке, оставляет в ней сл

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.



Говоря о доказательстве, в повседневной жизни, мы имеем в виду проверку сформулированного утверждения. Непосредственно в математике понятия проверка и доказательство являются разными по сути, хотя и несут в себе взаимосвязь.

Давайте докажем, что если три угла в четырехугольнике равны 90 градусов, то такой четырехугольник является прямоугольником.

Рассмотрим четырехугольник, у которого три угла равны 90 градусов. Произведем измерения четвёртого угла и найдем его градусную меру. Приходим к выводу, что он тоже будет прямым. Такого рода проверка подтверждает данное утверждение, но не является доказательством.

Для доказательства данного утверждения, необходимо рассмотреть произвольный четырехугольник, у которого три угла равны по 90⁰. Так как в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360⁰ , следовательно искомый угол равен 90⁰ (360⁰ — 90⁰*3). Прямоугольником является четырехугольник, у которого все углы прямые. Значит, данный четырехугольник будет прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Смысл выполненного доказательства заключается в следующей последовательности истинных утверждений: теорем, аксиом, определений, из которых логически вытекает утверждение, которое необходимо доказать. Доказать утверждение — это значит показать, что данное утверждение логически следует из ряда истинных и связанных с ним утверждений.

В случае, если рассматриваемое утверждение логически вытекает из уже доказанных утверждений, то оно является обоснованным и истинным. Основой математического доказательства служит дедуктивный метод. А само доказательство выступает как цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них, кроме последнего, является посылкой в одном из последующих умозаключений.

В рассмотренном доказательстве можно выделить следующие умозаключения:

– в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360⁰; данная фигура является выпуклым четырехугольником, следовательно, сумма углов в нём 360⁰;

– если известна сумма всех углов четырехугольника и сумма трех из них, то вычитанием можно найти величину четвертого; сумма всех углов данного четырехугольника равна 360⁰, сумма трех 270⁰(90⁰·3 = 270⁰), то определив их разность, найдем искомый угол, равный 90⁰;

– если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник — прямоугольник; в нашем случае в четырехугольнике все углы прямые, следовательно он прямоугольник.

Все рассмотренные умозаключения выполнены по правилу заключения и, соответственно, являются дедуктивными.

Самое простое доказательство состоит из одного умозаключения. Таким, например, является доказательство утверждения о том, что 5

Рассматривая структуру математического доказательства, мы понимаем, что она, прежде всего, включает в себя утверждение, которое доказывается, и систему истинных утверждений, посредством которых ведут доказательство.

Также важно заметить, что математическое доказательство — это не просто набор умозаключений, а умозаключения, расположенные в определенном порядке.

По способу ведения различают прямые и косвенные доказательства. Рассмотренное ранее доказательство относится к прямым — в нем, основываясь на отдельном истинном предложении и учитывая условия теоремы, соединялась цепочка дедуктивных умозаключений, которая непосредственно приводила к истинному заключению.

В качестве примера косвенного доказательства служит доказательство методом от противного. Сущность его состоит в следующем: пусть требуется доказать теорему А ⇒ В. При доказательстве методом от противного допускают, что заключение теоремы (В) ложно, а, следовательно, его отрицание будет истинным. Присоединив предложение «не В» к совокупности истинных посылок, применяемых в процессе доказательства (среди которых находится и условие А), выполняем цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получим утверждение, противоречащее одной из посылок и, в частности, условию А. Как только такое противоречие установится, процесс доказательства заканчивают и приходят к мнению, что полученное противоречие доказывает истинность теоремы А ⇒ В .

Задача 1. Доказать, что если х + 2 > 10, то х ≠ 8. Метод от противного.

Задача 2. Доказать, что если у² — четное число, то у — четно. Метод от противного.

Задача 3. Даны четыре последовательных натуральных числа. Справедливо ли, что произведение средних чисел этой последовательности больше произведения крайних на 2? Метод неполной индукции.

Полная индукция является таким методом доказательства, при котором истинность утверждения вытекает из истинности его во всех частных случаях.

Задача 4. Доказать, что каждое составное натуральное число, большее 4, но меньшее 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.

Таким образом, математическое доказательство является рассуждением с целью обоснования истинности какого-либо утверждения (теоремы), цепочкой логических умозаключений, показывающей, что при условии истинности некоторого набора аксиом и правил вывода утверждение верно.

Литература:

  1. Геометрия/ 7–9 классы: учеб. Для общеобразоват. Учреждений / . — 21 изд. — М.: Просвещение, 2011.

1. ТЕЗИС ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Тезисом называется суждение, или положение, истинность (или ложность) которого выясняется посредством данного доказательства. Доказываемый тезис обычно не имеет очевидности. Так, доказываемое в геометрии положение о том, что площадь круга равняется произведению числа ?, выражающего отношение длины окружности круга к длине его диаметра, на квадрат радиуса круга, не есть положение самоочевидное. Истинность его обнаруживается доказательством. И так обстоит дело с громадным большинством доказываемых положений.

Даже в случаях, когда доказываемый тезис представляется очевидным, он всё же обычно доказывается (это особенно относится к математике). Так обстоит дело, например, с положением, что диаметром круг делится на две равные части. То, что мыслится в этом положении, представляется очевидным. Однако в геометрии суждение это, несмотря на явную очевидность утверждаемого в нём, доказывается.

Пример этот — не исключение, а иллюстрация общего правила. Наука стремится доказывать, по возможности, всё, что только может быть доказано, безотносительно к тому, очевидно или неочевидно доказываемое.

Это стремление не оставлять, насколько возможно, ни одного положения недоказанным вытекает, во-первых, из уже выясненного выше значения доказательности для научного мышления. Во-вторых, стремление это обусловлено тем, что очевидность нас иногда обманывает. Так, если мы станем между рельсами на полотне железной дороги и поглядим вдаль, то нам непременно покажется, будто рельсы, параллельные на недалёком от нас расстоянии, вдали от нас сходятся в одной точке. Однако очевидность эта обманчива. В действительности рельсы и вдали от нас остаются параллельными.

Так как очевидность во многих случаях вводит нас в заблуждение, то наука стремится как можно меньше полагаться на одну лишь очевидность. Неочевидное доказывается потому, что оно неочевидно, очевидное проверяется доказательством. Поэтому наука всюду, где это только возможно, не оставляет без доказательства даже таких положений, которые представляются совершенно «наглядными», очевидными.

Выяснение истинности или ложности тезиса есть цель всякого доказательства. Доказательство, посредством которого выясняется истинность тезиса, называется просто доказательством. Доказательство, посредством которого выясняется ложность тезиса, называется опровержением. Опровергнуть некоторый тезис — значит доказать, что он ложен, т. е. не соответствует действительности.

Доказательство, в результате которого истинность доказываемого тезиса (или ложность опровергаемого тезиса) выясняется с полной необходимостью и непреложностью, будет безупречным с логической точки зрения.

Доказательство, не приводящее к этому результату, будет ошибочным, или, по крайней мере, неточным в логическом отношении.

Независимо от степени субъективной уверенности доказывающего в истинности доказываемого конечный успех доказательства возможен лишь в том случае, если доказываемый тезис — безотносительно к тому, что о нём думает сам доказывающий,— истинен по существу своего содержания. Можно успешно доказать истинность лишь того, что действительно истинно. И точно также можно успешно доказать ложность только того, что действительно ложно.

Поэтому первое условие, необходимое для безупречности доказательства, есть истинность тезиса по существу его содержания. Разумеется, истинность тезиса до того, как он доказан, не видна, не усматривается нашей мыслью, но само соответствие тезиса действительности, пусть ещё не дошедшее до уяснения, непременно должно существовать, для того чтобы тезис вообще мог быть доказан.

Если тезис сам по себе истинен, всегда существует возможность доказать его истинность. Возможно, что на первых порах способ доказательства окажется не достигающим цели, ошибочным. В таком случае задача науки заключается в том, чтобы вместо несостоятельного, ошибочного или неточного доказательства истинного тезиса найти другое — правильное, более точное, ведущее к цели. История наук знает немало случаев, когда положения, впоследствии оказавшиеся истинными, первоначально доказывались неточно или даже прямо ошибочным способом, и лишь с новыми успехами науки ошибки в способе доказательства устранялись, а логически неточные способы доказательства заменялись новыми, логически безупречными.

Например, многие доказательства предложений, разработанные античными геометрами, оказались впоследствии недостаточно строгими. Особенно интересно то, что больше всего неточностей оказалось в доказательствах самых первых, элементарнейших предложений. Факт этот легко объясняется. Дело в том, что при доказательстве первых предложений античные геометры в ряде случаев полагались на наглядное представление (или, как иногда называют наглядное представление, на «интуицию»). Так, уже при доказательстве первого предложения первой книги «Начал» (о построении равностороннего треугольника на данной ограниченной прямой) Евклид прибегает для доказательства к построению двух пересекающихся окружностей. Однако, вместо того чтобы строго доказать возможность этой пересекаемости, он просто предполагает эту возможность, опираясь при этом на наглядное представление и не допуская, что оно может быть ошибочным. Пример этот у Евклида — не исключение. Согласно замечанию советского комментатора «Начал» Евклида профессора Д. Д. Мордухай-Болтовского, античные геометрические доказательства имеют настолько явный «полуинтуитивный характер», что из всех составных частей, на которые расчленяется античное геометрическое доказательство, «только один член относится к логической операции, все другие относятся к словесной форме или к чертежу».

Неудивительно поэтому, что в новое время, когда было выяснено, что не всякое наглядное представление безусловно истинно, для теорем, которые доказывались в античной геометрии ссылками на очевидность или наглядность, пришлось разработать более строгие и точные способы доказательства.

Но какой бы ни была степень точности и строгости доказательства, первым условием возможной его безупречности является истинность доказываемого тезиса, т. е. адекватное отражение в нём действительности.

И точно так же для безупречности опровержения первым необходимым условием является действительная ложность опровергаемого положения, его действительное несоответствие фактам. Если опровергаемое положение ложно, то раньше или позже способ его опровержения может быть найден и будет найден. Но если положение, которое пытаются опровергнуть, само по себе истинно, то никакие попытки и ухищрения, какие делаются для его опровержения, не могут привести к цели, и опровергаемое положение останется неопровергнутым.

Убедительным подтверждением сказанного может быть позорное крушение бесчисленных попыток, которые делались и делаются буржуазными социологами и философами для опровержения марксизма. О тщетности этих попыток превосходно говорит в работе «Аграрный вопрос и «критики Маркса»» В. И. Ленин: «Вот уже много лет ученые и ученейшие люди Европы важно заявляют (а газетчики и журналисты повторяют и пересказывают), что марксизм уже сбит с позиции «критикой»,— и тем не менее каждый новый критик опять сначала начинает трудиться над обстреливанием этой якобы уже разрушенной позиции».

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

[ad01]

Рубрики: Разное

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *